Bases genèriques i teoremes històrics

Un punt que es troba dins del cercle,
que es troba dins del quadrat
i dins del triangle:
Si trobes aquest punt estàs salvat.
 (Màxima dels Companyons)

A partir d'aquest lliurament es presentarà tot un seguit de bases i teoremes d’us habitual a l’arquitectura medieval, pretén donar resposta a la multitud de persones que em demanen com es construeix un arc o un polígon, veurem l’ús habitual que en feien dels números metàl·lics, els polígons regulars o els arcs en els seus edificis. Hem de recordar sempre que els tècnics d’abans, nomes tenien al seu abast la regla i el compàs. No es definiran que son aquests elements perquè entenc que no es correspon explicar-ho en aquest tipus de treballs. Existeixen més de 100 models d’arc diferents, nomes es veuran els més habituals a les construccions que estudiem. Dic presentarà en futur perquè s’aniran afegint més escrits.
Si no s’indica la font, totes les fotos i plànols son de Jaume Espinalt
Números metàl·lics
La làmina ens mostra d’una manera molt elemental i entenedora com podem construir els denominats “Números metàl·lics” a partir d’un quadrat amb valor una unitat que pot esser 1, 100, 1.000, etc. (hi ha bastant bastant més números metàl·lics dels que es representen en aquest treball)
 Figura 100-A
  •  (A) Numero d’argent: Relacionat amb l’arrel quadrada de 2; la diagonal del quadrat correspon a la hipotenusa d’un triangle rectangle que els costats valen la unitat V(1²+1²) =V2, entre d’altres coses ens permet dibuixar un polígon regular de vuit costats o l’estrella de vuit beatituds de l’Orde del Temple. Aquest nombre es utilitzat per determinar la profunditat de les capelles de la Seu posant en relació la distancia entre el centre de les columnes i l’inici de les pròpies capelles (veure lamina BaseSeu-07 en aquest mateix lliurament). Es troba a diferents catedrals europees.
  •  (B) Numero d’or: Relacionat amb el pentàgon, l’estrella de cinc puntes i el rectangle auri.
  •  (C) Numero de platí: Relacionat amb l’estrella de sis puntes.
El nombre d’or, també  conegut com numero Phi = [(V5+1)/2]=1.6180), ve de la relació entre el costat i la diagonal de l’estrella de cinc puntes i portat a rectangle auri, ens proporciona bellesa harmònica als edificis. La primera part del dibuix (B) ens explica com podem construir un rectangle auri. Però d'on surt la formula de Phi? (veure segona part del dibuix (B)
  • Dibuixem un quadrat (1 X 1) (pensem que les unitats no son importants 1, 100, 1000) el doblem i el convertim en rectangle (1 X 2); tracem la diagonal; convertim el rectangle en dos triangles rectangles; calculem la hipotenusa, per definició V(a²+b²);  V(1²+2²) =V5
  • Convertim l’altura del rectangle (1) en radi, perllonguem la diagonal o hipotenusa fins que talli el radi. Ja tenim (V5+1)
  • Dividim per la meitat aquesta línia. Ja tenim Phi =[(V5+1)/2]=1.6180)
  • Transportem aquest punt mitjançant un arc, a un costat del rectangle, dibuixem el nou rectangle d’acord amb el nombre Phi i ja tenim el rectangle auri. En un moment veurem el resultat aplicat a la Seu de Manresa.
Polígons Regulars i Estrelles
La làmina ens mostra com podem construir tres polígons d’us habitual a les nostres construccions: 5, 6 i 7 costats. Aquests dibuixos al no necessitar el transport de graus, eren molt útils perquè els podien fer a gran escala amb una corda i una estaca clavada al terra, per marcar els principals punts de les àbsides de les catedrals, la ubicació de les columnes de la nau, etc. La majoria d’àbsides gòtiques utilitzen les estrelles de 5 ó 7 puntes, excepcionalment la de sis puntes (Valencia, Cervera)
Figura 100-B
  • En tots els casos partim d’un cercle amb un radi conegut, trobem el punt mig (Pm) del radi sobre l’eix horitzontal i tracem una vertical.
  • Per la figura de 5 costats, dibuixem un arc amb centre a Pm fins el centre superior de l’eix vertical.
  •  Amb centre al vèrtex superior tracem un nou arc que talli al anterior a l’eix horitzontal i arribi fins el primer cercle. Aquest radi es un costat del pentàgon.
  • Per la figura de 6 puntes, perllonguem per els dos extrems l’eix vertical situat a Pm fins que talli el cercle original.
  • Des d’aquests punts tracem unes línies que es trobin a l’extrem de l’eix horitzontal.
  • Repetint el procés en simetria, tenim el polígon de 6 puntes.
  • Per la figura de 7 puntes també partim de l’eix vertical situat a Pm, amb centre en el punt superior d’aquest mateix eix, fem radi sobre l’ horitzontal.
  •  Aquest radi es un costat del polígon de 7 costats.
Aplicació de polígons i estrelles sobre diversos models.
La següent làmina (BaseSeu-12-A) representa un alçat de la Seu de Manresa portada a una escala on podem integrar-hi perfectament la interpretació que en Leonardo va fer del home de Vitrubi (fons d'imatge extreta de Wikipèdia). Sense entrar en les evidents correspondències que hi trobem des del fossar de la cripta fins la volta, podem observar els tres rectangles vermells que es corresponen exactament amb rectangles auris, hem de tenir present que el rectangle auri es part important del nombre metàl·lic d’or. Ens podem fixar també en les estrelles de cinc i sis puntes. Observem que la projecció dels peus de l’estrella de cinc puntes ens delimita l’amplada de la nau central, l’estrella de sis puntes ens emmarca perfectament tot l’alçat definint-nos fins hi tot la posició dels boterells. El cercle que envolta l’estrella de sis puntes i delimita perfectament l’edifici, correspon al dibuix de Leonardo, no l’he dibuixat jo. 
La següent làmina (BaseBcn-83) correspon a la planta de la catedral de Barcelona, s’ha seccionat per no complicar el dibuix, no te més explicació que veure com amb les estrelles de 6, 7 i 8 puntes podem dibuixar una catedral. Com a detall podem comprovar que l’angle de l’estrella de 7 puntes a l’àbsida, ens delimita llargada i amplada de tota la catedral. Sobre les estrelles, tenim 7 puntes per l’àbsida; 6 puntes per delimitar l’amplada i la llargada de les tramades de la nau i 8 puntes per bastir el cimbori. El 8 es un numero que s’utilitza abastament per passar del quadrat al cercle. Te molta simbologia associada. L’amplada del rectangle blau cel que emmarca el dibuix es idèntic per totes les catedrals, la següent làmina que representa Manresa, també te el mateix rectangle blau cel, si no es veuen idèntics es degut a l’escala aplicada als dibuixos, ja que una cosa es l’amplada total del espai sagrat i una altre es la llargada de l’edifici i Manresa es bastant més curta que Barcelona.
La següent làmina (BaseSeu-07) correspon a una part de la planta de la Seu de Manresa, d’entrada ens hem d’oblidar de la part inferior del dibuix (costat Nord) correspon a una desviació excepcional aplicada per Berenguer de Montagut, arquitecte de la Seu per harmonitzar amplades, havia passat desapercebuda durant set-cents anys i es va descobrir precisament degut a l’aplicació d’aquests mètodes (per saber-ne més seguiu l’enllaç) L’estrella de cinc (o deu) puntes ens indica la posició de les capelles absidals i l’amplada de la nau central. L’estrella de sis puntes ens delimita l’amplada i la llargada de les tramades de la nau. El nombre d’argent el trobem a la part superior del dibuix (costat Sud) amb radi en el centre d’una columna ens marca l’amplada de la nau lateral i la profunditat de la seva capella.
La següent làmina (SuportGenèric-101) correspon al Panteó de Roma podem apreciar com els romans ja coneixien l’ús de les estrelles, en aquest cas l’estrella de cinc puntes, diàmetre o extensions, delimiten diversos punts de l’edifici.