Medicions a l'edat mitjana

En aquest nou treball de "Quadern" veurem com mesuraven distancies a punts inassequibles els antics arquitectes, per exemple: l'amplada d'un riu per poder-hi bastir un pont; una vall per construir-hi un aqüeducte; unes alçades per determinar on situar un capitell en una columna; una cornisa; l'arrencada d'un peralt d'un arc o l'ampit d'un finestral.
El sistema bàsic de mesura era la corda tot i que ja les tractaven industrialment per assegurar la màxima precisió amb una barreja de cera i resina, mai donava el mateix una mida horitzontal que una de vertical on el propi pes de la corda i la força de la gravetat influïen força. A més tampoc hi havien tantes cordes de mesurar a disposició dels tècnics ni eren practiques a l'hora de moure-les. Però ja hem vist que arquitectes i enginyers, no oblidem que enginyer ve d'enginyós, trobaven bones i practiques solucions per a tot.
En Tales de Mileto que hauria viatjat a Egipte d'on hauria tret bones idees que va dur a Grècia, diuen que entre d'altres activitats, es dedicava a determinar quan temps trigarien els vaixells enemics a arribar a la costa, d'aquesta manera la població es podia salvar i amagar. Aquests coneixements que els egipcis utilitzaven per a les seves piràmides, en Tales els va ordenar i presentar en format teoremes.
El treball va de triangles, però no necessitarem sinus ni cosinus, al final tot es redueix a una operació matemàtica tan senzilla i que ens soluciona la meitat del nostres problemes, com es la "regla de tres".
Pitagoras entre d'altres descobertes, va presentar-nos el triangle rectangle "perfecte" on els costats valen 3, 4 i 5 unitats respectivament, en aquest treball utilitzarem exclusivament aquest triangle, vol dir que tots els següents dibuixos han estat adaptats al triangle de Pitagoras. El normal a la vida es que tots els triangles siguin diferents i la única cosa en comú, es que han d'ésser triangles rectangles. El fet de treballar amb un sol triangle, fa que podem mantenir contínuament  totes les propietats i veure millor l'evolució del procés. 



Dibuix (A)

En blau es representa en perspectiva el triangle pitagòric amb valor 3, 4 i 5, la base A val 3 unitats, l'altura B val 4 unitats i la hipotenusa valdria 5 unitats. En vermell s'ha dibuixat un segon triangle on la base a val 1/3 de A i b te el seu propi valor (1.3333).
El triangle vermell el podem moure a la nostra voluntat i mentre no li variem les cotes mantindrem les condicions del teorema.
El teorema de Tales ens diu que si a un triangle li tracem una línia paral·lela a qualsevol dels seus costats, s'obté un segon triangle que es semblant al triangle original. En el nostre dibuix, les línies paral·leles son B i b.
En conseqüència podríem establir la següent relació: b/a = B/A

Dibuix (B)
Podem veure a un arquitecte (dibuix adaptat d'un model de Villar de Honnecourt) dret davant d'una columna que està mesurant per saber s'hi ha arribat a la cota correcta per situar-hi el capitell. L'arquitecte no es mira la columna, està mirant al terra. En el lloc on hi ha una petita fletxa negra dibuixada, l'arquitecte hi tindria senzillament un plat amb aigua o be un mirall. Tots podem provar l'experiment a casa: posem un mirall al terra i des d'una certa distancia hem de poder-hi veure reflectit el llum del menjador, a partir d'aquí podríem calcular l'altura del nostre pis.
En aquest cas coneixem les següents mesures: a, b i A. Tenim de calcular B.
La solució surt directa : B = (A*b) / a. 
La única cosa que hem fet amb el triangle vermell, ha estat fer-lo pivotar 180º damunt del vèrtex comú.

Dibuix (C)
En aquest cas mesurarem l'amplada d'un riu per tal de poder-hi bastir un pont, després ja decidirem la forma que tindrà i els ulls que li farem.
Per començar necessitem una referència física a l'altre banda del riu, aquí s'ha dibuixat un arbre que estarà situat a una certa distancia de la llera; distancia que haurem de calcular aproximadament, ja que després la haurem de restar (hem de tenir present que no podem accedir físicament a l'altre banda).
A la nostra banda necessitem un espai suficientment gran i pla on poder-hi clavar unes estaques que ens han de permetre determinar les línies dels dos triangles. El senyor Tales tenia tota la sorra de la platja per poder-hi clavar estaques i la seva referència visual en lloc del arbre era un vaixell de guerra i a més el pagaven per calcular la distància.
També tenim de calcular el costat B del triangle que es resolt igual que el cas anterior, amb la particularitat que a la mida que ens doni li haurem de restar la distancia de l'arbre al riu i també la distancia de la base dels triangles al riu.
La única cosa que hem fet amb el triangle vermell, ha estat fer-lo "caure" 180º sobre la línia de la base que tenen els dos triangles en comú.